在现代投资组合理论中，投资组合的风险可以通过方差和协方差来量化。在简单的两种证券的组合中，风险评估仅需要考虑两项方差和两项协方差。随着证券数量的增加，方差项和协方差项的数量都会发生变化。具体来说，三种证券的组合中包含了3个方差项和6个协方差项，而四种证券的组合则增加到4个方差项和12个协方差项。当证券数量达到20时，组合中会有20个方差项和380个协方差项。这是因为每增加一只证券，都会增加与其他证券之间的协方差关系。
从数学角度看，假设组合中有N只证券，则组合中会有N个方差项和N*(N-1)个协方差项。换句话说，方差项的数量与证券数量成正比，而协方差项的数量则呈二次增长。随着证券数量的不断增加，协方差项的数量迅速增多，这也就解释了为什么在大规模投资组合中，协方差成为评估风险的关键因素。
方差与协方差的区别
首先，方差是衡量单个资产波动性的指标，代表了单个证券收益的波动程度。方差越大，证券的收益波动越大，风险越高。而协方差则是衡量两种资产之间收益关系的指标，它显示了两种资产收益是否有同向或反向的波动。当协方差为正时，说明两种证券的收益有同步波动的趋势；而当协方差为负时，说明两者收益表现出相反的趋势。
在一个小规模的投资组合中，方差和协方差的数量都相对较少，且对风险的影响较为均衡。但随着投资组合的规模扩大，方差项的增加变得相对不重要，因为更多的协方差项引入了更多的信息。特别是在证券数量极大的组合中，协方差项成为主导风险评估的因素。
投资组合的风险
投资组合的风险不仅取决于单个证券的风险，还取决于这些证券之间的相关性（即协方差）。如果投资者能够通过选择不同的证券来分散风险，这种分散化效应会使得组合的整体风险低于单个证券的风险。尤其是当选择的证券之间的协方差较低时，风险分散效果尤为明显。
当证券数量增加时，投资组合中的证券之间的相关性变得更加重要。例如，假设你在一个组合中加入更多的不相关或者负相关的证券，这样可以有效降低整个组合的风险。反之，如果证券之间的协方差较高，增加更多证券可能并不会显著减少组合的整体风险。
结论
因此，当证券数量增多时，方差项的增加相对影响较小，协方差项则主导了投资组合的风险评估。实际上，投资组合中的风险主要来源于证券之间的协方差，而非单个证券的波动性。充分利用协方差的信息，投资者可以通过合理的资产配置降低组合的风险，优化投资回报。